Ficha 3: ¿Qué utilidad tienen los sólidos de revolución en nuestra vida cotidiana?
Comprobamos nuestros aprendizajes
Propósito
Empleamos estrategias para determinar el área y el volumen de cuerpos de revolución. Asimismo, adaptamos procedimientos para describir las diferentes vistas de una forma tridimensional compuesta; además, planteamos afirmaciones sobre las relaciones que descubrimos entre los objetos y las formas geométricas.
Situación A: El volumen de un volcán
Los estudiantes de quinto grado realizaron un proyecto de investigación sobre un volcán de su región y representaron sus medidas en una maqueta a escala de 1:2000. Para ello, tomaron en cuenta que el diámetro del cráter mide 840 m; el diámetro de la base del volcán, 1800 m, y el ángulo de inclinación de la ladera del volcán, 37°. Para el tronco de cono, utilizaron arcilla de color marrón; para la chimenea, la cual tiene forma de cilindro, emplearon arcilla de color anaranjado, tal como se muestra en la figura.
¿En cuánto excede el volumen de arcilla de color marrón a la arcilla de color anaranjado utilizada?
EJEMPLO DE RESPUESTA:
tilizando la escala 1:2000 se determina las medidas de la maqueta.
- Diámetro del cráter: 840 m = (840) (100)/ 2000 = 42 cm
- Diámetro de la base del volcán: 1800 m = (1800) (100)/ 2000 = 90 cm
Como el triángulo rectángulo ABC es notable (37°-53°), se tiene que
AB = 4k = 24; k = 6.
Entonces: BC = 3k = 3(6) = 18 cm = h
También: r = 21 cm; R = 90/2 = 45 cm
Cálculo del volumen de arcilla anaranjada:
V = π r2 h
V = π(21)2 (18)
V = 7938π cm3
Cálculo del volumen de arcilla marrón:
V = 1/3 π . r[R2 + r2 + R . r] ‒ π r2 h
V = 1/3 π . 18[ 452 + 212 + 45 . 21] ‒ 7938π
V = 12 528π cm3
Respuesta: El volumen de arcilla de color marrón excede al volumen de arcilla de color anaranjado en 12528π ‒ 7938π = 4590π cm3.
